170.  Heıunortrz,  Entdeckungsgeschichte  des  Princips  der  kleinsten  Action.  28)

die  Regel  der  kürzesten  Zeit  stehen  bleibt.  Setzen  wir  statt  der  punctförmigen
Masse  unseres  früheren  Beispiels  einen  räumlich  ausgedehnten  festen  Körper,  auf
den  keinerlei  äufsere  Kräfte  wirken,  die  nicht  aequilibrirt  wären,  z.  B.  eine  Billardkugel
  auf  ebener,  horizontaler  Tafel.  Wenn  sie  angestolsen  wird,  geht  ihr  _Mittelpunct
  allerdings  in  gleichförmig  geradliniger  Bewegung  fort.  Dagegen  kann  der
Stofs  der  Kugel  auch  gleichzeitig  eine  Rotation  gegeben  haben,  dann  beschreiben  alle
anderen  Puncte  der  Kugel  kreisförmige  Bahnen  um  einen  fortrückenden  Mittelpunect
des  Kreises,  und  ihre  Geschwindigkeit  wechselt  wiederholt  zwischen  gröfseren  und
kleineren  Werthen,  da  jedes  einzelne  Theilchen  durch  die  Rotation  bald  im  Sinne
der  fortschreitenden  Bewegung  der  Kugel,  bald  ihr  entgegengesetzt  fortgeführt
wird.  Aber  es  sind  immer  gleich  viel  Theilchen  der  Kugel,  die  die  eine  und  die
andere  Bewegung  ausführen;  es  bleibt  daher  die  lebendige  Kraft  der  ganzen  Kugel
constant,  und  wiederum  können  wir  sagen:  wenn  die  Kugel  zwischen  einer  vorgeschriebenen
  Anfangs-  und  Endlage  mit  vorgeschriebenem  Werthe  der  lebendigen
Kraft  so  übergeführt  worden  ist,  dals  die  Zeitdauer  der  Bewegung  die  unter  diesen
Umständen  kleinstmögliche  wurde,  so  ist  ihre  Bewegung  eine  solche,  wie  sie  sie,
sich  selbst  überlassen,  hätte  ausführen  können.

Das  führt  uns  nun  aber  gleich  auf  eine  Complication,  die  in  den  metaphysischen
  Streitigkeiten  um  unser  Gesetz  eine  grolse  Rolle  gespielt  hat.  Nehmen  wir
an,  die  vorgeschriebene  Anfangs-  und  Endlage  sei  so  gewählt  worden,  dafs  die
Kugel  in  beiden  dieselbe  Seite  nach  derselben  Richtung  wendet.  Sie  würde  dann
ohne  Rotation  einfach  geradlinig  aus  der  einen  in  die  andere  Üibergehen  können.
Aber  sie  könnte  dies  auch  thun,  indeın  sie  genau  eine,  oder  zwei,  oder  überhaupt
beliebig  viele  ganze  Umdrehungen  um  eine  beliebige  Achse  machte.  Je  mehr  Umdrehungen
  sie  macht,  ein  desto  grölserer  Theil  ihrer  lebendigen  Kraft  wird  auf  die
Rotation,  ein  desto  kleinerer  auf  die  fortschreitende  Bewegung  ihres  Centruins  fallen.

Da  aber  die  gesammte  lebendige  Kraft  constant  gehalten  werden  soll,  so
würde  unter  den  Bedingungen  unserer  Berechnung  der  Übergang  von  einer  zur
andern  Lage  desto  langsamer  erfolgen,  je  mehr  Umdrehungen  sie  zwischen  beiden
macht.  Es  sind  also  auch  noch  andere  Arten  der  Bewegung  möglich,  die  mehr
Zeit  brauchen,  um  aus  der  Anfangs-  in  die  Endlage  zu  gelangen,  und  die  doch
möglichen  freien  Bewegungen  der  Kugel  entsprechen.  In  diesen  Fällen  ist  nun  die
Zeit  kein  absolutes  Minimum  mehr.  Dennoch  ist  sie  ein  solches  in  einem  gewissen
beschränkteren  Sinne,  so  wie  auf  einem  Gebirgskamme  eine  Pafshöhe  ein  Minimum
der  Höhe  ist.  Für  den  Wanderer,  der  das  Gebirge  übersteigen  will,  ist  sie  allerdings
  das  Maximum  der  Höhe,  bis  zu  dem  er  steigen  muls,  aber  auf  jeder  anderen
Übergangsstelle  würde’er  noch  höher  zu  steigen  haben.  Man  bezeichnet  dies  mathematisch
  als  ein  Maximo-Minimum  der  Höhe  und  fafst  solche  Werthe  und  die
vollständigen  Minima  und  Maxima  der  veränderlichen  Gröfse  zusammen  unter  dein
Namen  der  Grenzwerthe  derselben.  Bei  der  Aufsuchung  derselben  mittels  der
Differentialrechnung  findet  man  verhältnifsmäfsig  leicht,  wo  die  Grenzwertlie  zu
finden  sind,  aber  erst  durch  eine  andere,  weist  weitläuftige  und  schwierige  Rechnung,
  ob  die  gefundenen  Grenzwerthe  Maxima  oder  Minima,  oder  Beides  seien.

Für  unser  Beispiel  von  der  bewegten  Billardkugel  kann  man  also  nicht  allgemein
  sagen,  die  Zeit  müsse  ein  absolutes  Minimum  sein,  sondern  nur,  sie  müsse
ein  Grenzwerth  sein.  Indessen  würde  die  Regel  vom  absoluten  Minimum  imıner
noch  gelten,  wenn  man  sie  auf  kleinere  Abschnitte  der  Bewegung  anwendet,  in
denen  die  Kugel  weniger  als  eine  halbe  Rotation  gemacht  hat.

Wir  haben  bisher  immer  noch  vorausgesetzt,  dals  die  Bewegung  unabhängig
von  der  Einwirkung  äulfserer  Kräfte  sei,  und  wir  haben  es  also  bisher  nur  mit  den
allzemeinsten  Beschreibungen  der  Wirkungen  des  Beharrungsvermögens  zu  thun
gehabt,  wie  es  sich  äufsert  im  Contliet  mit  festen  Verbindungen  der  schweren