Planimetrische  Konstruktionsaufgaben.  449

ausgeschlossen,  deren  Lösung  die  Kenntnis  entlegener  Lehrsätze  oder  besonderer
Kunstgriffe  erfordert“.

Der  Lehrer  hat  auch  hier  durch  besonnene  Auswahl  solcher  Aufgaben,  deren
Lösung  nach  häufig  verwendbaren  Methoden  und  aus  dem  bereite  bekannten  Lehrstoff
heraus  erfolgen  kann,  sowie  durch  klare  Anleitung  in  dem  Schüler  das  Gefühl  des
selbständigen  Könnens  zu  wecken  und  die  bildende  Kraft  dieser  Übungen  zur  Geltung
zu  bringen.

Innerhalb  dieser  Grenzen  lassen  sich  zwei  große  Klassen  von  Aufgaben
unterscheiden,  die  indessen  vielfach  ineinander  übergreifen.  Die  erste  Klasse
umfaßt  alle  Aufgaben,  welche  sich  unmittelbar  an  die  Definitionen,  bzw.  an  bekannte
  Lehrsätze  so  sehr  anschließen,  daß  der  Schüler  den  Lösungsweg  sofort
überschaut.  Zu  dieser  Klasse  können  auch  die  zahlreichen  Aufgaben  gezählt
werden,  die  nach  dem  sogen.  Ähnlichkeitsverfahren  zu  lösen  sind,  wie
z.  B.  die  Aufgabe,  aus  «,b:c-p»:q  und  etwa  r  ein  Dreieck  zu  zeichnen;
auch  hier  wird  der  Schüler  nach  der  Durchnahme  einiger  Beispiele  bereits  die
erforderliche  Sicherheit  besitzen.

Die  zweite  Klasse  von  Aufgaben,  die  Konstruktionsaufgaben  im  engeren
Sinne,  die  für  die  Planimetrie  die  gleiche  Wichtigkeit  besitzen  wie  die  Textgleichungen
  für  die  Algebra,  stellt  weit  größere  Anforderungen  an  die  Überlegungskraft
  des  Schülers  und  nimmt  seine  schöpferische  Phantasie  weit  mehr
in  Anspruch.  Die  Beziehungen  zwischen  den  gegebenen  Stücken  und  der  herzustellenden
  Figur  liegen  hier  nicht  offenkundig  vor  und  lassen  sich  auch
nicht  in  einfacher  Weise  durch  die  Erinnerung  an  Definitionen  und  bekannte
Lehrsätze  gewinnen;  die  Verbindung  der  gesuchten  mit  den  gegebenen  Stücken
muß  vielmehr  durch  eine  besondere  Untersuchung  (Entwicklung  der  Lösung
oder  Analysis)  ermittelt  werden.  Je  nach  dem  Wege,  der  hierbei  eingeschlagen
wird,  lassen  sich  zwei  Abteilungen  unterscheiden.  Bei  der  ersten  wird  die
Lösung  an  einer  Nebenfigur  abgeleitet  (geometrische  Analysis),  und  bei  der
zweiten  werden  besonders  die  Sätze  über  Proportionalen,  die  Ähnlichkeitssätze,
der  Potenzsatz  und  der  Pythagoräische  Lehrsatz  mit  seinen  Anwendungen  benutzt,
  um  die  Beziehungen  zwischen  den  Strecken  und  Flächen  in  Gleichungen
umzusetzen,  und  diese  Gleichungen  bis  zu  konstruierbaren  Ausdrücken  entwickelt.
  (Algebraische  Analysis;  Konstruktion  algebraischer  Ausdrücke.)  Häufig
lassen  sich  zur  Auflösung  beide  Wege  einschlagen,  und  nicht  selten  findet  sich
ein  Lösungsweg,  auf  dem  beide  Arten  von  Hilfsmitteln  zur  Verwendung  gelangen.

Als  Beispiel  sei  die  Aufgabe  gewählt:  Eine  Strecke  AB  so  zu  teilen,  daß
die  Differenz  aus  den  Quadraten  der  Abschnitte  gleich  einem  gegebenen
Quadrate  (}?)  ist.

a)  Die  Forderung  AX?—  BX!—=  }!  oder  AX'’—=  1?+  BX?”  weist  darauf
hin,  in  B  auf  AB  das  Lot  BC  von  der  Länge  ?  zu  errichten.  Wird  C  mit  X  und

A  verbunden,  so  entsteht  ein  gleichschenkliges  Dreieck  ACX  mit  der  Grundlinie

AC,;,  der  Punkt  X  liegt  demnach  auf  dem  Mittellot  von  AU.

b)  Bezeichnet  man  die  Strecke  AX  mit  z,  so  entsteht  für  die  innere  Teilung
die  Gleichung  x?  —  (AB  —  x)?  =  !?  und  für  die  äußere  Teilung  die  Gleichung
x  —  (2  —  AO)  m  R,
Handbuch  für  Lehrer  höherer  Sohulen.  29