450  Mörzze:  Rechnen  und  Mathematik.

.  ro  usch.  +  AB?  1  1#+-AB®
In  beiden  Fällen  ergibt  sich:  x  =  SAB  oder  =  SB  -  Man

hat  demnach  zu  AB  und  yi?  +  AB?  (AO)  die  dritte  Proportionale  zu  zeichnen
und  diese  zu  halbieren.
c)  Aus  AX?  —  BX'—  1!  folgt:  (AX  +  BX)  -(AX  —  BX)  =  !!  und  somit
für  die  innere  Teilung:  AB:!-1:(AX  —  BX)  und
für  die  Außere  Teilung:  AB:1-1:(AX-+BX).
In  beiden  Fällen  kennt  man  also  AX  +  BX  und  AX  —  BX;  die  halbe
Summe  dieser  Strecke  ist  aber  gleich  AX.

Das  Beispiel  ist  auch  dadurch  interessant,  daß  die  8  angegebenen  Entwicklungen
schließlich  auf  dieselbe  Zeichnung  führen.

Es  liegt  auf  der  Hand,  daß  der  Schüler  mit  dem  Entwicklungsverfahren
nur  durch  eine  planmäßige,  klare  Anleitung  vertraut  gemacht  werden  kann.
Die  größte  Schwierigkeit  bei  der  Behandlung  einer  Konstruktionsaufgabe  besteht
für  ihn  darin,  daß  er  nicht  überschaut,  was  zur  Lösung  unumgänglich
ausgenutzt  werden  muß.  Er  ist  daher  in  erster  Linie  dazu  anzuleiten,  bei
einer  Aufgabe  aus  ihrem  Wortlaut  alle  die  Gedanken  (Forderungen!)  herauszulesen,
  die  er  unbedingt  benutzt  haben  muß,  wenn  die  Lösung  gefunden  sein
soll.  Die  Bestimmungen  einer  Aufgabe  können  aber  zweierlei  Art  sein.

a)  Bei  der  ersten  sind  gewisse  Stücke,  wie  Punkte,  Strecken,  Kreise
usw.,  der  Lage  nach  und  andere,  wie  Seiten,  besondere  Linien,  Winkel,
Inhalt,  der  Größe  nach  gegeben.  Alle  diese  Angaben  mögen  Stückbestimmungen
  genannt  werden.

b)  Zu  der  zweiten  Art  sind  die  Angaben  zu  zählen,  daß  ein  Punkt
oder  eine  Seite  auf  einer  gegebenen  Geraden  liegen,  eine  Gerade  auf  einer
gegebenen  Geraden  senkrecht  stehen  oder  einer  gegebenen  Geraden  parallel
sein,  eine  gegebene  Strecke  oder  ein  gegebener  Winkel  halbiert  werden,
ein  gegebener  Kreis  berührt  werden,  das  Verhältnis  zweier  Stücke  eine
gegebene  Größe  besitzen  soll,  usw.  Alle  diese  Forderungen  mögen  Wortbestimmungen
  heißen.

Sind  die  Angaben  der  Aufgabe  nach  diesen  Gesichtspunkten  geordnet,  so
tritt  unter  Benutzung  einer  Nebenfigur  die  Untersuchung  ein,  auf  welchem
Wege  die  gestellten  Forderungen  befriedigt  werden  können,  wobei  die  Vorschrift
zu  beachten  ist,  daß  bei  jeder  neuen  Forderung  der  Zusammenhang  mit  den
vorhergehenden  gewahrt  bleiben  muß.  Der  Einteilung  der  Angaben  entsprechend
ist  die  Untersuchung  aber  zunächst  wieder  in  zwei  Teile  zu  zerlegen,  von
denen  die  erste  sich  mit  den  Stückbestimmungen  (A)  und  die  zweite  mit  den
Wortbestimmungen  (B)  beschäftigt;  den  Zusammenhang  zwischen  beiden  liefert
dann  eine  dritte  Untersuchung  (C),  welche  die  Gedanken  bei  A  und  B  mit.
einander  verbindet.?)

Für  die  Aufgabe  z.  B.,  einen  Kreis  zu  zeichnen,  der  durch  Punkt  A  geht

eine  Gerade  ®  und  einen  Kreis  M,  r  berührt,  nimmt  die  Entwicklung  den  folgenden
  Verlauf:

1)  Ausführlicher  dargestellt  in  Müller,  die  Elementarplanimetrie.  Leipzig,  B  G.  Teubner.