Planimetrische  Konstruktionssufgaben.  451

Da  der  gesuchte  Kreis  durch  den  Punkt  A  gehen  soll,  so  ist  die  Herstellung
seines  Mittelpunktes  X  das  Ziel  der  Aufgabe.

A.  Mit  der  einzigen  Stückbestimmung,  die  nicht  auch  in  B  vorkommt,  daß
nämlich  der  Kreis  durch  A  gehen  soll,  ist  zunächst  nichts  anzufangen.

B.  Es  soll  der  gesuchte  Kreis  die  Gerade  ®  berühren,  der  Berührungsradius
X  Y  also  auf  ©  senkrecht  stehen;  der  gesuchte  Kreis  soll  ferner  den  Kreis  M,  r
berühren,  der  Berührungspunkt  Z  also

auf  der  Mittelpunktelinie  MX  liegen,  B

und  die  Verbindungslinie  YZ  eine

Doppelsehne  sein.  Hieraus  folgt

MBIXY,  also  auch  MB  |  ®,  d.h.  M  7

der  Punkt  B  (und  mit  ihm  zugleich
C  und  D)  ist  durch  M  und  ®  bestimmt,
  und  Z  liegt  auf  dem  zu  dem
bekannten  Durchmesser  BC  gehörigen  D.4
Halbkreise.  Es  ist  daher

ABZCNnABDY
und  somit
BY:  BC-  BD:  BZ  D  Y,  ®_

oder  Fig.  1.
BY.BZ-DBC.BD.

BC  wnd  BD  aber  sind  bekannt,  und  daher  ist  auch  die  Potenz  des
Punktes  B  für  den  gesuchten  Kreis  bekannt.

C.  Auf  der  Verbindungslinie  des  Punktes  B  mit  A  liegt  ein  zweiter  Punkt  7'
derart,  daB  BA-BT-BY.BZ,  aloo  auch  BA-BT-BC.BD  ist,  und
demnach  ist  7  der  Schnittpunkt  der  Geraden  BA  mit  dem  durch  die
Punkte  A,  C  und  D  bestimmten  Kreise.  Damit  ist  7  bekannt,  die  Aufgabe
also  auf  eine  der  (bereite  vorher  gelösten)  Aufgaben  zurückgeführt:  Einen  Kreis
zu  zeichnen,  der  durch  die  Punkte  A  und  7  geht  und  die  Gerade  ®  oder  den
Kreis  M,  r  berührt.

(Es  würde  nun  eine  Besprechung  der  verschiedenen  Lagen  von  T'  usw.  zu  folgen  haben.)

Wird  der  Schüler  von  vornherein  an  eine  derartige  Entwicklung  der  Lösung
gewöhnt,  so  kann  es  nicht  ausbleiben,  daß  er  mit  der  Richtung  vertraut  wird,
die  sein  Denken  einzuschlagen  hat,  um  eine  Auflösung  zu  finden;  hat  er  im
übrigen  seine  Schuldigkeit  getan  und  sich  den  Inhalt  des  durchgenommenen
Lehrstoffs  eingeprägt,  so  läßt  sich  erwarten,  daß  er  auch  schwierigere  Aufgaben
  nicht  ohne  gute  Aussicht  auf  Erfolg  in  Angriff  nehmen  kann  und  bald
zu  dem  „Gefühl  des  selbständigen  Könnens“  gelangt.

Eine  sorgfältig  durchgeführte  Entwickelung  (Analysis)  muß  die  Ausführung
(Konstruktion)  so  weit  vorbereiten,  daß  es  zu  ihrer  Beschreibung  nur  weniger
Worte  bedarf,  und  wird  deshalb,  wenigstens  in  den  oberen  Klassen,  für  die
Lösung  der  gestellten  Aufgabe  als  ausreichend  betrachtet  werden  können.  Der
Beweis  für  die  Richtigkeit  einer  Konstruktion  würde  in  den  allermeisten  Fällen
nur  eine  Umkehrung  der  Reihenfolge  der  in  der  Entwickelung  gezogenen
Schlüsse  erfordern  und  darf  deshalb  nicht  jedesmal  verlangt  werden.  Die
Schüler  merken  bald,  daß  ihnen  mit  dem  Beweise  eine  überflüssige  Arbeit  zugemutet

  wird,  und  empfinden  diese  als  unnütze  Quälerei.')

)  Vgl.  Simon,  M.u.D.,  8.  76.
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