462  Mütter:  Rechnen  und  Mathematik.

und  nach  verschiedenen  Richtungen  erweitern,  zumal  wenn  der  physikalische
Unterricht  begonnen  hat,  in  welchem  man  bei  den  verschiedensten  Gelegenheiten
  graphische  Darstellungen  braucht  und  die  veränderliche  Wirkung  als
Funktion  der  veränderlichen  Ursachen  zu  ermitteln  sucht.  Auf  der  Oberstufe
gibt  ferner  die  Einführung  der  trigonometrischen  Funktionen  und  die  geometrische
  Darstellung  ihrer  Abhängigkeit  von  der  Größe  des  Winkels  den
willkommenen  Anlaß,  den  Verlauf  gegebener  Funktionen  zu  studieren,  ihre
Nullstellen,  Maximal-  und  Minimalwerte  und  die  Größe  ihrer  Perioden  aufzufinden,
  bei  der  Tangens-  und  Kotangensfunktion  die  Begriffe  der  Stetigkeit
und  Unstetigkeit  zu  erläutern,  usw.  Im  einzelnen  kann  dies  hier  aus  Mangel
an  Raum  nicht  ausgeführt  werden;  die  gegebenen  Andeutungen  werden  indessen
  hinreichen,  um  den  Einfluß  erkennen  zu  lassen,  den  eine  derartige
frühzeitige  und  vielseitige  Ausnutzung  der  neuen  Ideen  auf  die  Belebung  des
Unterrichts  und  die  Ausbildung  des  mathematischen  Denkens  wird  ausüben
müssen.  Veränderliche  Größen  und  Funktionen  bleiben  nicht  lose  Anhängsel,
sondern  durchdringen  und  befruchten  den  Unterricht  in  einer  Weise,  daß  das
Ziel  der  Lehrpläne  „ein  eingehendes  Verständnis  des  Funktionsbegriffes  zu  erschließen“
  sicher  und  mühelos  erreicht  wird.

Wenn  die  angeführten  Ideen  hier  gleichfalls  als  neu  bezeichnet  werden,
so  soll  damit  keineswegs  gesagt  sein,  daß  ihre  Einführung  in  den  Unterricht
erst  in  der  jüngsten  Zeit  erfolgt  sei  oder  gar  erst  erfolgen  müsse.  Zweifellos
sind  sie  von  vielen  Lehrern  an  Gymnasien  seit  einer  Reihe  von  Jahren  im
Unterricht  benutzt  worden,  um  ein  tieferes  Verständnis  des  Gebotenen  zu  erzielen
  und  den  Schüler  zu  einer  freieren  Auffassung  zu  erziehen;  das  beweist
die  Aufnahme  der  betreffenden  Forderung  in  die  Lehrpläne,  auf  deren  schließliche
  Gestaltung  die  zahlreichen,  von  Gymnasien  eingeholten  Gutachten  gewiß
nicht  ohne  Einfluß  geblieben  sind,  das  beweißt  die  Tatsache,  die  auch  F.  Klein
nicht  entgangen  ist,  daß  diese  Ideen  bereits  in  einem  Teil  der  heutigen  für
Gymnasien  bestimmten  Schulliteratur  Aufnahme  gefunden  haben,  obschon  hier
nur  mit  außerordentlich  großer  aber  durchaus  berechtigter  Vorsicht  dem  Neuen
Raum  gegeben  werden  darf.  In  welchem  Umfang  jedoch  die  Anregungen  der
Lehrpläne  an  der  Gesamtheit  der  Gymnasien  den  Unterricht  beeinflußt  haben,
das  wird  sich  schwer  feststellen  lassen,  da  die  stille  Arbeit  des  Lehrers  selten
den  Weg  in  die  Öffentlichkeit  nimmt,  und  das  in  den  Abiturientenaufgaben
vorliegende  Beurteilungsmaterial  begreiflicherweise  über  diese  Frage  nur  wenig
Auskunft  zu  geben  vermag.  Will  F.  Klein  in  dem  hier  angegebenen  Sinne
den  Funktionsbegriff  in  den  Mittelpunkt  des  mathematischen  Unterrichts  gerückt
sehen,  so  wird  man  ihm  gern  zustimmen;  eine  „zeitgemäße  Umgestaltung“
des  mathematischen  Unterrichts  am  Gymnasium  wird  man  jedoch
darin  nach  dem  Vorausgegangenen  nicht  erblicken  können.  Der  Fachmann,
der  die  Entwicklung  des  mathematischen  Unterrichts  aufmerksam  verfolgt  hat,
kennt  diesen  Sachverhalt  und  wird  sich  durch  die  Forderung  einer  „zeitgemäßen
Umgestaltung“  nicht  beirren  lassen.  Den  Nichtmathematiker  jedoch  wird  sie
mit  der  Besorgnis  erfüllen,  daß  wieder  einmal  Anderungen  im  mathematischen