464  Mürzer:  Rechnen  und  Mathematik.

das  Verhältnis  zwischen  der  Änderung  der  Funktion  und  der  Zunahme  der  Veränderlichen

  fe  2  —  f(@)

gleich  der  trigonometrischen  Tangente  des  Winkels

&amp;  ist,  den  die  Verbindungslinie  der  entsprechenden  Punkte  mit  der  X-Achse
bildet.  Da  «  in  g  übergeht,  wenn  d  gleich  O0,  die  Verbindungslinie  also  zur
Tangente  wird,  so  erhält  man  in  der  trigonometrischen  Tangente  des  Winkels
yp,  den  die  Tangente  an  die  Kurve  mit  der  X-Achse  bildet,  den  Grenzwert

f  (x)  des  Verhältnisses  U  Bu  2  und  mit  diesem  zugleich  ein  Kriterium

für  den  Sinn,  in  welchem  die  Funktion  an  der  gewählten  Stelle  mit  wachsendem
  x  sich  ändert.  Ist  der  Winkel  9  spitz,  so  wächst  die  Funktion,  und
ist  er  stumpf,  so  nimmt  sie  ab;  ist  der  Winkel  dagegen  gleich  0°  oder  180°,
d.  h.  ist  die  Tangente  der  X-Achse  parallel,  so  nimmt  die  Funktion  bei  weiterem
  Wachsen  von  x  wieder  ab,  bzw.  zu,  d.h.  die  Funktion  besitzt  an  der
betreffenden  Stelle  ein  Maximum,  bzw.  ein  Minimum.  Demnach  hat  man  den

Quotienten  et  ”  —f®)  zu  bilden  ‚  dann  Ö  gleich  O0  zu  setzen  und  zur  Ermittelung

  der  Grenzstellen  die  so  entstandene  Funktion  f(x)  gleich  0  anzunehmen.
Um  die  oft  zeitraubende  Herstellung  der  Funktion  f’(x)  nicht  jedesmal  vollständig
wiederholen  zu  müssen,  kann  man  einige  Vorübungen  zu  der  Anwendung  des
Schellbachschen  Verfahrens  anstellen  und  die  Regeln  zur  Bildung  des  Quotienten
f(z)  für  die  Funktionen  az”,  =  ‚„a+b,  Po:  und  Ya+2dz"  ableiten.
Ist  das  Verfahren  bei  der  Lösung  mathematischer  und  physikalischer  Probleme
gründlich  eingeübt,  so  kann  man  bei  einer  vorgeschritteneren  Schülergeneration
wohl  auch  darauf  hinweisen,  daB  in  ihm  die  allgemeinen  Gedanken  der  Ditierentialrechnung
  zur  Verwendung  gelangen,  und  daß  die  vorgenommenen  Bechnungen
  die  einfachsten  Operationen  derselben  sind;  man  kann  auf  die  Wichtigkeit
  dieser  Erweiterung  unserer  Anschauungen  für  die  Mathematik  und
Naturwissenschaften  aufmerksam  machen  und  durch  den  gegebenen  Ausblick
bei  den  besseren  Schülern  ein  Interesse  wecken,  das  Paul  Cauer  in  seinem
Vortrag  in  Halle  treffend  als  „Hunger  auf  Wissen“  bezeichnet  hat.  Das  alles
ist  im  Iahmen  der  Lehrpläne  möglich  und  läßt  sich  aus  der  Forderung  rechtfertigen,
  daß  ein  eingehendes  Verständnis!)  des  Funktionsbegriffes  erschlossen
werden  soll,  und  die  Tatsache,  daß  die  Autgabensammlungen  von  Bardey  und
Heilermann-Dieckmann,  von  Bußler,  Wrobel,  Müller-Kutnewsky  und
Schülke  zu  derartigen  Übungen  Anregung  geben,  läßt  darauf  schließen
(s.  8.  104),  daB  diese  Auffassung  ziemlich  allgemein  geteilt  wird.  F.  Klein
wird  also  nur  wenig  Zustimmung  finden,  wenn  er  meint,?)  der  Lehrer  umgehe

ı)  Vgl.  hierzu  J.  Tannery,  nach  Jahresberichte  usw.  XII,  7—9,  S.  452:  On  ne  sait
un  peu  ce  que  sont  les  mathömatiques,  ....  que  lorsqu’on  seit  ce  que  c’est  qu’une  fonction,
comment  on  &amp;tudie  une  fonction  donnde,  comment  on  suit  ses  variations,  comment  on  represente
  son  allure  par  une  courbe,  comment  l’alg®bre  et  la  geometrie  s’aident  mutuellement....


ı)  Vgl.  F.  Klein,  a.  e.  O.,  8.  12.