470  Mürzze:  Rechnen  und  Mathematik.

Bleibt  man  aber  bei  der  elementar-synthetischen  Behandlung,  so  hat  man
den  wichtigen  Satz,  daß  die  Konstruktionsgesetze  der  Parabel,  Ellipse  und
Hyperbel  mit  dem  Wesen  dieser  Kurven  als  Kegelschnitte  in  ursächlichen  Zusammenhang
  stehen,  an  den  Anfang  zu  stellen,  um  der  Bezeichnung  „Kegelschnitte“
  für  den  Schüler  von  vornherein  einen  Sinn  zu  geben.  Wird  ein
gerader  Kreiskegel  mit  der
Spitze  S  durch  eine  Ebene,
welche  nicht  durch  S  geht,  geschnitten,
  so  läßt  sich  stets  eine
Kugel  herstellen,  welche  sämtliche
  Seitenlinien  des  Kegels
und  die  schneidende  Ebene  berührt.
  Die  Berührungspunkte
der  Seitenlinien  liegen  auf  einem
Kreise,  dessen  Ebene  senkrecht
zu  der  Achse  des  Kegels  liegt.
Wird  daher  die  Figur  so  gezeichnet,
  daB  die  schneidende

Fig.s.  Ebene  auf  dem  Achsenschnitt
in  der  Ebene  der  Zeichnung
senkrecht  steht,  also  ihr  Berüährungspunkt  F'  mit  der  Kugel  in  dieser  Ebene  liegt,
so  wird  die  schneidende  Ebene  von  der  Berührungsebene  in  einem  Lote  LL’  zu
diesem  Achsenschnitt  getroffen.  LZL’  steht  also  auch  auf  der  Geraden  AJ
senkrecht,  welche  die  schneidende  Ebene  mit  dem  Achsenschnitt  gemein  hat.
Legt  man  nun  durch  einen  beliebigen  Punkt  P  des  Kegelschnitts  die  Normalebene
  PUV  zu  der  Achse  S.J  und  die  Parallelen  PQ  zu  AJ,  bzw.  PR  zu  LL,
so  steht  zunächst  PQ  auf  LL’  senkrecht  und  ist  gleich  RL.  Da  femer  PF=  PT,
PT-UGC,  also  auch  PF=  UC  ist,  so  folgt
PF:PQ-UC:RL.
Das  Verhältnis  UC:  RL  hat  aber  immer  denselben  Wert,  wo  auch  P  angenommen
  werden  mag,  und  daraus  folgt,  daß  für  jeden  Punkt  der  Schnittlinie
die  Entfernungen  von  F  und  der  Geraden  LL’  dasselbe  Verhältnis  besitzen.
De  LL’  und  F  durch  die  Lage  der  schneidenden  Ebene  bestimmt  sind,  so
erkennt  man,  daß  jede  Linie,  in  der  ein  gerader  Kreiskegel  durch  eine  Ebene
geschnitten  wird  (falls  diese  nicht  durch  seine  Spitze  geht),  ein  Ort  für  Punkte
ist,  deren  Abstände  von  einem  festen  Punkte  und  einer  festen  Geraden  ein
unveränderliches  Verhältnis  besitzen.  Die  Beschaffenheit  der  Linie  hängt  von
der  Wahl  des  Punktes  A  und  der  Größe  des  Winkels  AJS  ab;  für  X  AJS  =  9,
erhält  man  eine  Parabel,  für  90°&gt;  AJS&gt;g,  eine  Ellipse  und  für  AJS&lt;gp
eine  Hyperbel,  während  für  AJS  =  90°  sich  ein  Kreis  ergibt.  Da  für  AJS-9
die  Strecken  UC  und  RL  einander  gleich  sind,  so  ist  hier  das  Verhältnis
PF:P%  gleich  1;  im  zweiten  Falle  ist  UC  kleiner  als  RL  und  somit  das
Verhältnis  PF:  PQ  kleiner  als  1;  im  dritten  Falle  endlich  wird  UC  größer
als  RL  und  folglich  das  Verhältnis  PF:  PQ  größer  als  1.