Gegner  und  Freunde  der  F.  Kleinschen  Bestrebungen.  473

werde,  und  aus  der  auf  die  Erfahrung  gegründeten  Besorgnis  heraus,  daß  die
jungen  Leute  auf  den  Hochschulen  den  Anfangsvorlesungen  dann  nicht  die
nötige  Aufmerksamkeit  und  Sorgfalt  zuwenden  möchten,!)  und  die  Verhandlungen
  auf  der  Naturforscherversammlung  in  Breslau  1904  haben  gezeigt,  daB
diese  Besorgnis  auch  heute  noch  nicht  geschwunden  ist.

Die  Freunde  der  Wiedereinführung  wenden  sich  in  erster  Linie  gegen
den  Einwand,  daß  die  Anfangsgründe  der  Differential-  und  Integralrechnung
nicht  zur  Elementarmathematik  gehörten,  indem  sie  darauf  hinweisen,  daß
Inhalt,  Ziel  und  Methode  des  Unterrichts  unter  dem  Einfluß  der  allgemeinen
Strömungen  der  Zeit  eine  fortgesetzte  und  schließlich  weitgehende  Umbildung
erleiden,?)  daß  der  Begriff  Elementarmathematik  veränderlich  sei,  daß  sich  eine
beständige  wissenschaftliche  Arbeit  vollziehe  in  der  Richtung,  die  Errungenschaften
  der  Wissenschaft  durch  Vereinfachung  der  Methoden  und  durch  Angliederung
  an  geläufige  Gedankenreihen  zu  elementarisieren,  und  daß  diese
Arbeit  vorzugsweise  den  Lehrern  an  höheren  Schulen  zustehe.  Bei  dem  Entwicklungsgang,
  den  die  Mathematik  genommen  habe,  sei  ein  immer  größerer
Teil  mathematischer  Gedanken  in  den  allgemeinen  Bildungskreis  eingetreten;
„es  läßt  sich  beobachten,“  sagt  B  ertram?),  „daß  von  den  Resultaten  mathematischen
  Denkens  eine,  wenn  auch  langsam,  aber  doch  stetig  wachsende  Zahl
den  Charakter  der  Elemente  annimmt,  die  das  Leben  der  Kulturvölker  so
durchdringen,  daB  ein  ihrer  Unkundiger  wie  ein  Fremdling  im  eigenen  Lande
erscheinen  würde.“  Es  sei  unmöglich,  nach  einem  wissenschaftlichen  Gesichtspunkt
  den  Begriff  der  Elementarmathematik  scharf  abzugrenzen,  und  die  Behauptung,
  daß  diese  aufhöre,  wo  der  Grenzbegriff  einsetze,  wo  mit  unendlich
kleinen  Größen,  also  mit  Grenzübergängen  operiert  werde,  könne  unmöglich
aufrechterhalten  werden,  da  schon  die  periodischen  Dezimalbrüche,  die  geometrischen
  Reihen,  noch  mehr  die  Quadratwurzeln  und  die  Logarithmen  unumgänglich
  den  Grenzbegriff  erforderten.*)  Bei  der  Herleitung  der  Tangentengleichung
  in  der  analytischen  Geometrie  könne  die  Bildung  von  Grenzwerten
nicht  umgangen  werden;  Grenzwerte  bilde  man  auch  in  der  Stereometrie,  bei
den  Reihen  und  in  der  Lehre  vom  Maximum  und  Minimum.)  Die  Ideen  und
Methoden,  welche  man  mit  der  Differential-  und  Integralrechnung  dem  Unterricht
  zuführen  wolle,  seien  also  keineswegs  ganz  neu  und  hätten  schon  seit
langem  einen  elementaren  Charakter  angenommen.  Es  ist  unmöglich,  dieser
Argumentation  die  Berechtigung  abzusprechen,  vorausgesetzt,  daß  man  die
„Anfangsgründe“  in  dem  Umfang  deutet,  in  dem  sie  heute  bereits  fast  zu  einem
Allgemeingut  des  mathemathischen  Unterrichts  geworden  sind.

Mit  dem  gleichen  Rechte,  aber  auch  mit  der  gleichen  Einschränkung  ist
der  Einwand,  daß  der  Primaner  im  allgemeinen  dem  Grundgedanken  der

n  Vgl.  M.  Nath,  Bildungsanfgabe,  8.  6.

»,  Vgl.  F.  Klein,  a.  a.  O.,  S.  61.

°®,  Vgl.  Simon,  M.  u.  D,,  8.  31.

N  Vgl.  A.  Schülke  in  Unterrichtsblätter  X,  8.  60.
8,  Vgl.  E.  Götting  in  F.  Klein  a.  a.  O.,  S.  50.