so Mathematik. X. Buch.
Zahlkörper. Die Erweiterung der von den Mathematikern betrachteten Zahlen
bis zum Begriffe des Zahlkörpers ist seit etwa hundert Fahren
zu verfolgen; wie Hilbert in seinem musterhaften Bericht über die Theorie der algebra-
ischen Zahlkörper (1897) sagt, ist die Theorie der Zahlkörper der wesentlichste Bestand-
teil der modernen Zahlentheorie geworden. „Has Verdienst, den ersten Keim für die
Theorie der Zahlkörper gelegt zu habn, gebührt wiederum Gauß. Er erkannte die
natürliche Quelle für die Gesetze der biquadratischen Reste in einer „Erweiterung des
Feldes der Arithmetik“, wie er sagt, nämlich in der Einführung der ganzen imaginären
Zahlen von der Form aà + bi; er stellte und löste das Problem, alle Sätze der gewöhn-
lichen Zahlentheorie, vor allem die Teilbarkeitseigenschaften und die Kongruenzbe-
ziehungen, auf jene ganzen imaginären Zahlen zu übertragen. Durch die systematische
und allgemeine Fortentwicklung dieses Gedankens, auf Grund der neuen weittragenden
Ideen Kummers gelangten später Dedekind und Kronecker zu der heutigen Theorie
des algebraischen Zahlkörpers.“ Oie hier kurz geschilderte Entwicklung dieser Theorie fand
vor 1889 statt; aber sie stand nicht still. Gerade Hilbert und seine von ihm angeregten
zahlreichen Schüler sowie sein Freund Minkowski nebst manchen modernen deutschen
Mathematikern haben den begonnenen Ausbau dieser Theorie kräftig gefördert.
Großer Fermatscher Satz. Es möge hier erwähnt werden, daß Kummer durch
ein Problem den Anstoß zu seinen Schöpfungen er-
bielt, das Hilbert unter den gegenwärtigen Problemen der Mathematik in dem schon
angeführten Pariser Vortrage bespricht, nämlich den Beweis des „großen Fer matschen
Satzes“, daß die Gleichung an 4 b# — ch in ganzen Zahlen a, b, c, n, außer für n = 2,
unmöglich ist. Bekanntlich hat der von Wolfskehl ausgesetzte Preis von 100 000 Mark
für die Erbringung des Beweises viele Mathematiker und noch mehr Aichtmathematiker
leider dazu veranlaßt, ihre Zeit, ihre Kraft und ihr Geld vergeblich zu opfern. Kummer
hat seine bezüglichen durch lange Jahre fortgesetzten Arbeiten ja dadurch belohnt ge-
sehen, daß er den gesuchten Beweis wenigstens für eine sehr große Anzahl von Fällen
erbracht hat.
Zahlentheoretische Arbeiten Wir können hier nur einzelne Entdeckungen
aus der Zahlentheorie erwähnen, um zu
zeigen, daß bedeutsame Fortschrittte gemacht
wurden, und weisen deshalb auf die glänzenden Resultate hin, die Minkowski seit
seinem ersten Auftreten errungen hat. Nachdem er als achtzehnjähriger Student mit
seiner Abhandlung „Grundlagen für eine Theorie der quadratischen Formen mit ganz-
zahligen Koeffizienten“ den Grand Prix des Sciences Mathématiques“ von der Pariser
Akademie errungen hatte, wandte er sich mit größtem Erfolge der Theorie der quadratischen
Formen und der mit ihr zusammenhängenden Fragen zu. „Seine auf das spezielle
Gebiet der quadratischen Formen gerichteten Untersuchungen erhalten mehr und mehr
den großen Zug ins allgemeine und gipfeln schließlich in der Schaffung und dem
Ausbau der Lehre, für die er selbst den treffenden Namen „Geometrie der Zahlen' ge-
von Minkoweski.
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