82 Mathematik. X. Buch.
in seinem Referate über diese Arbeit: „Der Verfasser ist zu den Ergebnissen der vor-
liegenden Untersuchung durch die Aufgabe geführt worden, die bisher nur für Systeme von
binären und für die einfachsten ternären Formen nachgewiesene Exzistenz „voller Spsteme
von Grundformen“, durch welche sich alle weiteren invarianten Bildungen der Urformen
ganz rational ausdrücken lassen, auf Systeme beliebiger Formen mit beliebigen Variabeln---
reihen auszudehnen. Indem er aber dieses sein erstes Ziel dadurch erreicht, daß er den
Kern der Frage von dem engeren Gebiet der Invariantentheorie loslöst und als eine
fundamentale Eigenschaft von unendlichen Sostemen algebraischer Formen überhaupt
statuiert, gelingt es ihm, darüber hinaus eine Reihe von Sätzen nachzuweisen, welche die
von Kronecker einerseits, von Dedekind und Weber andererseits begründete Theorie
der algebraischen Moduln weiterführen und zugleich bemerkenswerte Anwendungen
auf Zahlentheorie, Agebra und Geometrie zulassen.“
Die Determinantentheorie, deren Entstehung
bis auf Leibniz zurückführt, ist in der zu besprechen-
den Periode besonders durch den sorgfältigeren Ausbau der Theorie der
Matrizen auf eine höhere Stufe gebracht worden. Unter den hierher gehörigen Arbei-
ten sind vor allem die Abhandlungen von G. Frobenius zu nennen. Auf die Bedeu-
tung dieser Untersuchungen für die Determinantentheorie hat unter anderem Hensel
in seiner Bearbeitung der Kroneckerschen Vorlesungen über die Theorie der Determi-
nanten nachdrücklich hingewiesen (Bd. I, 1905. Bd. II ist nicht erschienen). „Ein den
Anforderungen der modernen Wissenschaft entsprechendes Lehrbuch der Determinanten-
theorie darf diese Untersuchungen (über das große Gebiet der Soysteme oder Matri-
zen) jetzt um so weniger übergehen, als neuere Arbeiten von Frobenius gezeigt haben,
wie wunderbar einfach sich mit ihrer Hilfe die wichtigen und schwer beweisbaren Resul-
tate von Weierstraß und Kronecker über die Tquivalenz von Formenscharen ablesen
lassen.“
Determinanten, Matrizen.
Zu den formalen Teilen der Algebra gehört die Theorie der
Substitutionsgruppen, deren Ausbildung vor der zu be-
handelnden Periode liegt. H. Weber sagt in seinem „Kleinen Lehrbuch der Algebra“
(1912): „Es sind hauptsächlich zwei große allgemeine Begriffe, von denen die moderne
Algebra beherrscht wird. Die Exristenz und Bedeutung dieser Begriffe konnte allerdings
erst erkannt werden, nachdem die Algebra bis zu einem gewissen Grade fertig und zum
Eigentum der Mathematiker geworden war. Erst dann konnte in ihnen das verbindende
und führende Prinzip erkannt werden. Es sind das die Begriffe der Gruppen
und des Körpers.“ Dieser Wertschätzung entsprechend ist die Gruppentheorie neuer-
dings sorgfältig gepflegt worden, in Deutschland besonders von Frobenius, seinem
Schüler J. Schur und einigen anderen Mathematikern. Der Gruppenbegriff in seiner
Erweiterung hatte schon vorher in den genialen Arbeiten von S. Lie über die Trans-
formationsgruppen seine Macht erwiesen. Seine von Fr. Engel und G. Scheffers
herausgegebenen, zusammenfassenden Werke sind in demletzten Jahrzehnt des verflossenen
Gruppentheorie.
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