X. Buch. Mathematik. 87
im Gebiete der Abelschen Funktionen fortgesetzt. Wir nennen ferner die Bücher: H. Stahl,
Theorie der Abelschen Funktionen (1906). W. Wirtinger, Untersuchungen über Thetafunk-
tionen (1895). A. Krazer und F. Proym, Aeue Grundlagen einer Theorie der allgemeinen
Thetafunktionen (1892). A. Krazer, Theorie der zweifach unendlichen Thetareihen auf
Grundder Riemannschen Thetaformel 1903). F. Prym und G. Rost, Theorie der Prym-
schen Funktionen erster Ordnung im Anschluß an die Schöpfungen Riemanns (1911).
Wir wollen das weite Gebiet der Funktionen-
theorie nicht verlassen, ohne einen flüchtigen
Blick auf die Theorie der Funktionen mehrerer BVariabeln, vor allem der algebraischen
Funktionen zweier Variabeln zu werfen, welche letzteren mit den tiefsten Unter-
suchungen über die algebraischen krummen Oberflächen zusammenhängen. Hier sind
besonders die italienischen Mathematiker Enrigques, Severi, Castelnuovo u. a. m.
vorangegangen, in Frankreich Picard. Aber auch in Deutschland, wo M. Noether
wohl der hervorragendste Forscher auf diesem Felde ist, sind solche Untersuchungen
nicht vernachlässigt worden, und unter den jungen Mathematikern hat P. Koebe mit
seinen schönen Uniformisierungsarbeiten einen verheißungsvollen Weg beschritten.
Funktionen mehrerer Variabeln.
Oie philosophische BVertiefung aller Grundbegriffe
der Mathematik hat sich besonders in der Geometrie
vollzogen. Schon vor 1889 hatte F. Klein in seinen „Vergleichenden Betrachtungen
über neuere geometrische Forschungen" (1872) den Blick auf die Entstehung und die
Zusammenhänge der geometrischen Begriffe gelenkt. Pasch brachte dann in seinen „Vor-
lesungen über neuere Geometrie"“ (1882) den empirischen Ursprung der Geometrie zur
vollen Geltung. Das Problem der axiomatischen Behandlung der Geometrie unter Vor-
anstellung des Gruppenbegriffes hat S. Lie im dritten Bande seiner „Theorie der Trans-
formationsgruppen“ (1893) in Angriff genommen. Veronese gab in seinen „Grund-
zügen der Geometrie von mehreren Dimensionen und mehreren Arten in elementarer
Form entwickelt“ (deutsch 1894) einen streng sonthetischen Aufbau der Geometrie von
den ersten Grundlagen aus und setzte dabei das Stetigkeitsaxiom nicht durchgängig vor-
aus. Den Versuch, die Untersuchungen über die Grundlagen der Geometrie zu einem
einheitlichen Ganzen zu verarbeiten, machte W. Killing in seiner „Einführung in die
Grundlagen der Geometrie“ (2 Bände, 1893 u. 1898). Durch die Wiederkehr des hundert-
sten Geburtstages von Lobatschefskij (1893) und von J. Bolyai (1902) sowie durch
die Veröffentlichung von Dokumenten über die Ansichten von Gauß erhielten die Mathe-
matiker neue Anregungen, sich mit diesen Prinzipienfragen zu beschäftigen. Als bisto-
rische Schriften von nachhaltiger Wirkung erwiesen sich: „Die Theorie der Parallellinien
von Euklid bis auf Gauß" von P. Stäckel und F. Engel (1895) und „NMikolaj Zwano-
witsch Lobatschefskij, zwei geometrische Abhandlungen, mit einer Biographie des Ver-
fassers“ von F. Engel (1899); der Briefwechsel zwischen Gauß und W. Bolyai, heraus-
gegeben von F. Schmidt und P. Stäckel, sowie die neuen Ausgaben der Werke von
Lobatschefskij und Bolyai.
Prinzipien der Geometrie.
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